Alocação de Ativos: O caso Markowitz

A alocação de ativos tem sido rigorosamente estudada nos últimos anos, seja por economistas, estatísticos ou matemáticos. Ainda que às vezes apresentada de forma bastante teórica, a bem da verdade diversas ideias produzidas são aplicáveis.

Na verdade, as mais notórias ganham atenção pela sua possibilidade de melhorar os retornos reais dos investidores, de forma mais sustentável, ao longo do tempo.

Para te ajudar a entender isso de forma mais prática e realista, faremos uma sequência de textos com o objetivo de colocar na mesa algumas teorias e práticas de alocação de ativos.

A principal motivação para o desenvolvimento destes modelos é a redução do risco que o investidor será exposto, através da diversificação ou balanceamento da carteira. A diversificação é uma forma poderosa de redução do risco, pois os retornos oferecidos por diferentes ativos não se movem em conjunto.

Dentre elas, talvez você já tenha pelo escutado o nome de Markowitz, sempre acompanhado de uma área chamada de Moderna Teoria dos Portfólios, que teve grande impacto na prática da administração financeira e na economia de finanças.

Há uma parte mais intensa de matemática e estatística que não será apresentada de forma rigorosa, mas o leitor que tiver curiosidade ou intenção de se aprofundar, poste nos comentários e podemos dar algumas sugestões sobre o modelo Markowitz.

O modelo de Markowitz

Para começar a história, cabe destacar que o icônico trabalho de Markowitz, “Portfolio selection”, é uma obra prima publicada no The Journal of Finance em 1952, ou seja, há mais de 50 anos atrás.

Com isso ele foi laureado Nobel de economia no começo dos anos 90, para que você tenha ideia de importância do que ele estava propondo.

Desde então o modelo sofreu críticas, melhorias, adaptações, mas a essência do que foi escrito na metade do século passado continua muito forte. Dentre os notórios contribuintes, temos William Sharpe, do índice Sharpe.

A ideia de Markowitz seria construir uma carteira de investimentos que maximizasse a relação risco e retorno, o que em termos matemáticos e estatísticos serão representados pela variância e pelo retorno médio desses ativos.

Provavelmente você já viu pessoas estimando volatilidade e risco pelo desvio padrão de um ativo. Pois saiba que o desvio padrão nada mais é do que a raiz quadrada da variância.

Qual a importância desses dois parâmetros? Bem, se dois ativos diferentes tiverem o mesmo retorno esperado, mas um tiver menor variância, aquele com variação menor é a melhor escolha, pois reflete menor risco. Da mesma forma, se dois títulos diferentes tiverem aproximadamente a mesma variância, aquele com retorno maior é a melhor escolha.

Há importantes suposições no modelo, que podem influenciar no resultado, com destaque para o fato de assumir que os investidores tomarão decisões racionais sobre investimentos se tiverem informações completas na mesa (não há assimetria de informação, todo mundo sabe a mesma coisa), além de apresentarem um perfil de risco que prefere baixo risco e alto retorno (óbvio, não?).

Aliás, o tipo de função (matemática) utilizada no modelo pressupõem que o investidor só se importa com o risco e o retorno.

Calculando o modelo de Markowitz

Nesse tópico vamos ter que nos aprofundar um bocado na parte matemática da coisa. Portanto, se essa parte ficar pesada demais, você pode pular direto para o próximo tópico.

Formalmente podemos enunciar o problema assim:

Suponha que temos dois investimentos A e B e podemos alocar frações (ou pesos) θ e 1-θ do nosso capital K em cada um dos 2 investimentos, sendo θ ∈ [0,1].

Os retornos de cada um dos investimentos são representados por R1 e R2, sendo que a expectativa de retorno deles é presentado com E (Ri) =μi, sendo μ a média, e a variância por

a variância, sendo i o ativo estudado (estamos tratando de 2 ativos, então i= ativo 1 ou i= ativo 2).

Se R representa o retorno total numa alocação de capital com θ em A e 1-θ em B, temos:

K (1 + R) = θK (1 + R1) + (1 - θ)(1+ R2)

ou

R = θR1 + (1-θ)R2

Nessa última expressão, estamos deixando claro que Retorno total (R) é uma função do peso definido para θ que pode ser definido pelo investidor (é uma variável de decisão).

Nessa expressão fica também claro que se θ = 1 o investidor colocará todo o seu capital no investimento A e se θ = 1 colocará todo ele no investimento B.

Assim, para maximizar o R bastar achar o melhor peso θ mas como fazer isso?

Não há uma resposta definitiva a essa questão, mas pelo menos podemos usar algumas técnicas para descartar valores de θ a partir do modelo média-variância.

Usando as propriedades da esperança matemática e da variância para o caso de 2 ativos, que o leitor não precisa necessariamente saber, temos que:

E[R(θ)] = θμ1 + (1-θ) μ2 (essa é a esperança do retorno da carteira)

e para a variância:

V[R(θ)]=θ²σ²1+(1−θ)²σ²2+2θ(1−θ)ρσ1σ2

(essa é a variância do retorno da carteira, representando o risco)

Perceba que na expressão acima surgiu um ρ (meio escondido, mas está ali), que é o coeficiente de correlação entre esses retornos. Ela indica para que direção os ativos vão, ou seja, se ρ for positivo, os rendimentos andam juntos e na mesma direção, se for negativo, andam em direção opostas.

Essa fórmula feia descrita acima pode ser encontrada em qualquer livro de estatística em que se tenta tirar a variância da soma de duas variáveis.

É um pouco chato, mas é com essas funções que vamos construir as possibilidades de carteiras.

Exemplo com IBOV e S&P500

Vamos supor que você irá montar sua carteira apenas com renda variável e, mais especificamente, com apenas dois ativos. Certamente isso não representa a realidade dos investidores do dia a dia, mas facilita a exemplificação e visualização usando apenas dois ativos.

Suponha que você queira escolher uma carteira que minimize o risco e maximize o retorno, baseado no desempenho histórico do Ibovespa e da S&P 500. De fato, você está querendo escolher os pesos de cada ativo para a melhor relação média (histórica de retorno) e variância (também histórica).

Após algumas linhas de comando, podemos construir um gráfico que relaciona o risco e retorno da sua carteira, baseado em pesos θ dado para cada um dos ativos.

Legal, mas como eu interpreto esse gráfico? Como ele pode me ajudar?

Essa linha representa a combinação de carteiras, a partir de pesos para cada ativo. Por exemplo, começa no caso em que uma carteira tem apenas Ibovespa e termina num caso em que uma carteira tem apenas S&P.

Para cada combinação de peso, por exemplo, metade da carteira em Ibovespa e metade em S&P, teremos uma combinação da média do retorno dos dois ativos, além da combinação da média das variâncias (risco), o que representa um ponto no gráfico. Com várias combinações diferentes, temos vários pontos diferentes.

Qual razão de ter uma coleção de combinações tidas como ineficientes? Ou seja, θ que podem ser descartados?

É muito simples, pense na seta azul. Veja que há combinações de pesos de Ibovespa e S&P 500 que levam ao mesmo risco, mas com retornos diferentes. O ponto na linha preta tem o mesmo risco do ponto na linha vermelha, mas a combinação de carteira que resultou no ponto da linha preta tem um retorno melhor, ou seja, melhor relação risco-retorno.

Perceba que quando descrevi o modelo, falei da correlação ρ que afeta o formato da curva. A teoria moderna do portfólio ressalta que os investidores devem procurar um conjunto de ativos consistentemente não positivamente correlacionados (ou seja ρ mais próximo de zero ou mais negativo) para limitar os riscos.

O problema é que o valor de ρ não está sob o controle do investidor, somente θ está. 

Pense no dólar e no Ibovespa, normalmente quando um está subindo muito, o outro está caindo, mostrando essa correlação negativa. Um exemplo pode ser dado quando alguém que quer proteger a carteira teria um pouco dos dois, medido pelo θ de forma que sempre um irá compensar o outro, tanto em momentos de bonança quanto de crise.

Por sua vez, um dos problemas de ativos com correlação zero é que podemos ter uma situação perigosa escondida.

Explico: o índice de correlação é fruto de uma fração, em que no numerador temos a chamada covariância, que mede como variam juntos (ou não) as duas variáveis, e no denominador temos o produto dos dois desvios padrões (sim, aquela medida utilizada para risco, usualmente para calcular a volatilidade).

Pode acontecer uma situação em que a covariância (denominador) é zero ou próximo disso, pois os dois ativos são muito diferentes, mas o risco (medido pelo desvio padrão) de ambos é muito elevado (exemplo: bitcoin e ações da NVDA).

Se você montar uma carteira com os dois, estará com uma carteira com correlação zero nos ativos, mas altamente arriscada.

Em outras palavras, o indicador de correlação é importante, mas não pode ser avaliado de forma isolada.

Como isso pode me ser útil?

A primeira utilidade desta técnica é uma mudança de visão de investimento, que embora pareça batida (até pelo fato de já estar na mesa há mais de 50 anos), não é trivial.

A ideia principal é de que, para montar uma carteira de investimento, é possível e preciso combinar ativos com mais ou menos correlação, positivas ou negativas, dando maior ou menor importância para alguns ativos, de modo a combinar numa carteira que maximize o retorno em relação ao risco. É isso que irá te proteger e maximizar seu desempenho ao longo dos anos.

Parece bem óbvio, mas a execução não é nem um pouco simples. Se você não for uma pessoa habituada a programação, facilidade de manipular dados, algum conhecimento de estatística e matemática, fica um pouco difícil. Mas não impossível, pois vale a pena a tentativa e um pouco de labor nessas técnicas.

De fato, é até possível fazer no Excel, sendo necessário baixar as séries históricas dos ativos que você pensa trabalhar, calcular as médias dos retornos (diários, mensais ou anuais, por exemplo) e a variância (ou desvio padrão) desses retornos. Existem fórmulas prontas no Excel para calcular tudo isso.

Depois disso é preciso criar pesos para cada ativo em sua carteira, e combinar as variâncias e retornos, encontrando aquela combinação de peso que dará mais retorno por unidade de variância (risco).

Na imagem acima, perceba que você escolher qualquer combinação de θ que resulte em um ponto na parte preta da linha, mostra que você está na parte eficiente da sua carteira.

Qual ponto escolher? Aí entra o perfil de risco do investidor. Depende se você quer mais ou menos retorno, ou seja, se está mais ou menos propenso a correr mais risco.

Desta forma deverá escolher qual o θ que se adequa a esse perfil.

Nas palavras do próprio Markowitz, em seu artigo:

"O portfólio com retorno máximo esperado não é necessariamente aquele com variância mínima. Existe uma taxa na qual o investidor pode obter o seu retorno esperado aceitando uma dada variância, ou então reduzindo essa variância ao abrir mão de um pouco do retorno esperado”

Vamos simular 3 carteiras e comparar os rendimentos delas desde o começo de 2017. Uma será composta apena por Ibovespa, outra apenas pelo S&P 500 e a última pela combinação das duas de acordo com a curva do gráfico acima, escolhendo θ = 0.4

O leitor poderá pensar: “Nossa, que técnica ruim, era melhor ter comprado apenas Ibovespa!”

Isso pode ser verdade para esse período, em que tivemos um forte bull market no Brasil, favorecendo carteiras que deram maior peso para a bolsa brasileira. Mas vamos ver como a situação ficaria se consideramos um período mais longo, desde 2010.

O jogo muda, e o investidor que preferiu a combinação na carteira teve um desempenho maior do que aquele que ficou apenas no Ibovespa, que passou por um bom período negativo (será que teria quebrado?), ao passo que o diversificado não.

Críticas mais comuns ao modelo de Markowitz

Como antecipado, essa é uma técnica do começo dos anos 50 e que deu importantes contribuições para toda teoria financeira, mas o modelo de Markowitz não passa impune das críticas.

De fato, uma das bases da teoria de Markowitz é a hipótese de eficiência de mercado, que anuncia que um investidor não conseguirá atingir de forma consistentemente retornos superiores à média do mercado, considerando as informações publicamente disponíveis quando o investimento é feito.

Quando investidor consegue isso, é sinal de que há falhas no mercado (Warren Buffet seria um exemplo?).

Pois é, há também críticas pelo fato de usar rendimentos e riscos históricos para planejar uma carteira pensando no retorno futuro, que pode ser muito diferente.

Conclusão

A alocação de ativos de uma carteira, segundo Markowitz, é fruto de interesse e estudos há décadas, com algumas teorias e modelos sendo cada vez mais aperfeiçoados, sempre em busca de aumentar o retorno sem precisar incorrer em maiores riscos.

O investidor que adota essa filosofia, mesmo renunciando a retornos maiores durante períodos de forte boom, tende a sobreviver por mais tempo na selva do mercado financeiro.

Evite ficar apenas com um tipo de ativo, ou alguns ativos que apresentem as mesmas características, o que impacta na correlação dos retornos deles, que por sua vez impacta no formato daquela curva e, por fim, pode te levar uma alocação de carteira em que você não está tendo o melhor retorno dado o nível de risco assumido.