Teorema de Bayes (Bayes’ Theorem)

O que é o Teorema de Bayes?

O cálculo feito para analisar a possibilidade de acontecimento de algum evento é feito por meio do Teorema de Bayes. O cálculo possui esse nome como uma referência a um pastor britânico e matemático chamado Thomas Bayes, ainda que tenha sido desenvolvido pelo francês Pierre-Simon Laplace, que homenageou Bayes por conta de seus cálculos precisos.

Publicado em 1813 no livro Teoria Analítica de Probabilidade, o teorema de Bayes ainda hoje se coloca como um cálculo preciso para analisar eventos futuros. Desta forma, é um ponto essencial para o mundo das finanças e para a análise das flutuações do mercado de ações. É uma ferramenta de probabilidade que costuma ser utilizada por muitos investidores.

O Teorema de Bayes parte do pressuposto de um fator existente, ou de alguma informação prévia para que o cálculo possa ser feito e seus resultados analisados à vista de eventos próximos, ou seja, se tomarmos como exemplo o mundo financeiro, o Teorema de Bayes diz que uma empresa cujas ações ficaram em alta por determinados meses, possui uma grande chance de continuar em alta.

Como calcular o Teorema de Bayes?

O Teorema de Bayes é desenvolvido de acordo com a seguinte fórmula:

P (A│B) = P (B│A) x P (A)

___________

P(B)

Onde cada letra significa:

• P (A│B): Probabilidade de o evento A ocorrer;
• P (B│A): Probabilidade de B ocorrer, uma vez que A já ocorreu;
• P (A): Probabilidade de A ocorrer;
• P (B): Probabilidade de B ocorrer.

Ao aplicar o Teorema de Bayes é necessário extrapolar e imaginar que determinado evento pode voltar a acontecer. Desta forma, é comum a utilização da expressão "grau de crença" para se referir ao evento previsto pelo cálculo.

O que é o Paradoxo de Monty Hall?

É comum em Talk Shows a utilização de um jogo de probabilidade em que o participante precisa escolher entre três portas. Dentro de uma dessas portas está um prêmio, de forma que as outras duas não. Assim, o desafio é iniciado quando o participante escolhe a primeira porta. O apresentador vai abrir uma porta diferente em que não há prêmio algum.

Após essa escolha, o apresentador pergunta ao competidor se ele deseja trocar de porta. É possível que nesse momento, o competidor fique dividido entre permanecer com a porta escolhida ou trocar de porta. Em sua mente ele vai pensar que o apresentador sabe em qual porta está o prêmio, assim o que importa é saber se vale a pena ou não trocar a escolha.

A resposta, utilizando o Teorema de Bayes é sim. No primeiro momento, ou seja, quando da escolha da primeira porta, o competidor tem uma chance de 1 em 3. Porém, se ele muda de porta após o apresentador rejeitar uma opção, as chances sobem para 2 em 3.

Se esse problema for colocado em termos do Teorema de Bayes, o cálculo deve ser feito da seguinte forma:

• A = Primeira porta a ser escolhida e que contém o prêmio. Porta nº 1;
• B = Porta aberta pelo apresentador e que não contém o prêmio.

Assim:

P (A│B) = P (B│A) x P (A)

___________

P (B)

P (A) na equação acima é o equivalente a 1/3, ou seja, a primeira opção. O segundo passo é calcular o P (B), para que todas as possibilidades em relação às portas que o apresentador venha a abrir sejam cobertas.

Assim:

P (A│B) = P (BA) x P (A)

___________

P(B)

A definição das probabilidades fica da seguinte forma:

• P(A): Probabilidade de o prêmio estar atrás da primeira porta;
• P (B│A): Probabilidade de o apresentador, tendo conhecimento de que o prêmio está na primeira porta, escolher uma vazia;
• P (B│A^C): Probabilidade de o apresentador, tendo conhecimento de que o prêmio não está na primeira porta, escolher uma vazia;
• P (A^C): Probabilidade de o prêmio não está atrás da primeira porta.

Assim, é possível verificar que o Paradoxo de Monty Hall apresenta, quando aplicado o Teorema de Bayes, que as chances aumentam de 1 entre 3 para 2 entre 3.