Os três fatores de Fama e French

No texto de hoje queremos apresentar ao leitor alguns fatores (as vezes negligenciados pelos agentes de mercado) que podem ser usados para descrever retornos, sobretudo de carteiras e de fundos. A ideia é verificar, a partir de um modelo de precificação de ativos, o impacto de mais variáveis no retorno de uma carteira.

O que isso quer dizer? Bem, o retorno de uma carteira de um fundo de investimento, por exemplo, é influenciado por vários fatores e que tornam a carteira sensível a eles. Então inicialmente devemos identificar quais são os fatores e, segundo tentar mensurar/quantificar essa sensibilidade, essa influência.

De certa foram você já foi introduzido aqui, quando o Mais Retorno falou do modelo CAPM em sua forma mais simplificada (dê uma passada no artigo antes, se puder), decompondo a influência apenas de um retorno genérico do mercado.

Para avançar na análise, Eugene Fama e Kenneth French (o primeiro é ganhador de Nobel de Economia), adicionaram mais fatores que explicam e influenciam o retorno, sendo essa uma versão “evoluída” do problema.

A situação aqui é bem técnica e, possivelmente, se você for um iniciante em finanças e souber pouco de estatística, vai se sentir desafiado. Ainda assim, vale a pena conhecer os conceitos e ver exemplos, pois esses termos e ideias sempre aparecem no meio de conversas de finanças mais especializadas, principalmente analisando fundos e qualidade dos gestores.

Qual a relevância desse tipo de abordagem? Vamos imaginar que um dado fundo tenha rendido 130% do CDI num dado período, parece bom, não? Isso quer dizer que o gestor é um gênio? Um homem a frente do seu tempo? Que consegue bater o mercado? Pode até ser isso mesmo, mas não podemos afirmar isso apenas olhando esse número bruto.

Claro, no fim do dia o cliente e o investidor só querem o dinheiro no bolso rendendo bem, independente de quem tenha sido “a culpa”. Ainda assim há aqueles que desejam entender o que de fato influenciou, o que explica essa performance melhor que o do mercado.

Os fatores de Fama-French

A ideia do modelo é a seguinte: decompor o retorno de uma carteira não apenas pelo retorno do mercado, mas também por outros dois fatores. Aqui, vamos listar os três, ainda que a parte do mercado provavelmente você já tenha visto em outros artigos:

• Small Minus Big Factor (SMB), que também é conhecido como “efeito tamanho”, pois relaciona a diferença de performance dos papeis de empresas menor valor vs empresas de elevado valor. A lógica é que é bem possível que você bata o mercado se estiver concentrado em boas small caps (veja definição em “O que são Small Caps e Mid Caps?”), que vão render muito mais que as chamadas blue chips (principalmente no curto prazo);

• High Minus Low Factor (HML), por sua vez, trata da diferença de desempenho de papeis de empresas que tenham uma baixa relação book-to-market, ou seja, uma baixa razão entre seu valor de mercado e seu valor patrimonial, frente a empresas com alto book-to-market. Assim, também podemos chamar essa métrica de “efeito valor”, pois papeis que guardam boa relação book-to-market são as chamadas “ações de valor”, que costumam mostrar melhor desempenho (retorno) em longos prazos;

• Mercado, por sua vez, computa a influência do desempenho do mercado R_m na sua carteira (ou no fundo), pois mensura um retorno do mercado descontado a taxa livre de risco, R_f). No caso brasileiro, pode se considerar o DI swap de 30 dias (para facilitar, pense aqui na taxa DI). Se for um número positivo, quer dizer que o desempenho do mercado em geral está melhor que o DI, ou seja, se você estiver ganhando pode estar apenas seguindo uma onda generalizada. Podemos computar essa parcela como (R_m-R_f).

Ok, e qual a importância desses fatores? São eles que os dois geniais economistas, Fama e French, elencaram como importante na hora de entender o que explica o rendimento de um portfólio (anos depois foram adicionados mais fatores relevantes).

Assim, sofrer influências grandes do SMB, HML e do desempenho do mercado diz que o seu retorno não é exatamente tanto por sua genialidade ou capacidade de fazer movimentos únicos e grandiosos. Há fatores de mercado que naturalmente amplificariam seu desempenho, caso sua carteira seja muito sensível a esses fatores. Mas agora, como mensurar essa sensibilidade?

Fama & French: o modelo

Apresentado os três fatores, como relacioná-los com o rendimento da sua carteira ou de um fundo? A forma mais usual é por meio de uma técnica chamada regressão linear.

Agora vou ter que cobrar um pouco de paciência e atenção do leitor.

Olhe a figura abaixo, que mostra a relação entre uma variável Y e uma variável X. Pense em qualquer variável. Certamente você percebeu que quanto mais X cresce, mais Y cresce¹, o que pode sugerir uma relação entre as variáveis.

Uma forma de medir essa relação é traçando uma reta entre as variáveis, como mostra a figura acima. Agora se lembra da sua época de ensino médio, quando você aprendeu que uma reta pode ser escrita como:

Então, a reta da figura é construída com essa fórmula. O problema é achar os valores de α e β que consigam nos trazer uma reta que relacione Y com X da forma como a figura. Mas o mais interessante é que, após encontrar esses dois parâmetros, você consegue mensurar a “sensibilidade” de Y em relação a X por meio do β.

Legal, agora sabemos de uma forma de como relacionar variáveis e mensurar a sensibilidade. A título de exemplo, veja a relação entre o retorno diário de um fundo (que vamos chamar de Fundo X) e do fator Mercado.

É possível estimar essa reta vermelha e conseguir o valor de β, que sinaliza a influência do fator Mercado no portfólio desse fundo.

Mas claro, o modelo de Fama e French depende dos outros dois fatores também, o problema é que não há mais como representar graficamente essa relação, pois agora y depende de x₁, x₂ e x₃, que seriam os 3 fatores do modelo. Como há 3 variáveis tentando explicar o retorno de uma carteira, o gráfico teria que ser de 4 dimensões, o que dificulta sua representação.

Isso não impede de construirmos essa relação linear, mas que não será mais uma reta do tipo y = α + βx e sim o que nós chamamos de hiperplano:

Muito grego até aqui? Tente se fixar menos na relação matemática e mais na intuição do problema: estamos tentando encontrar uma forma de relacionar o retorno da carteira com os fatores citados no modelo.

Assim, é possível “rodar um modelo” que relacione o rendimento diário de uma carteira com o retorno do mercado (R_m-R_f), com o SMB e o HML, além de uma constante (que mensura a habilidade de gestão, o tal do alfa). Os parâmetros que vão relacionar e medir a sensibilidade do rendimento da carteira com esses fatores são:

Complicado? Vamos repetir: é uma técnica que permite você mensurar a influência desses fatores no seu retorno e quantificá-los, por meio de coeficientes (parâmetros). O modelo teria essa cara:

Desta forma, se os β forem positivos, indicam que esses três fatores impactaram de forma positiva os seus rendimentos no período em que estiver avaliando, se for negativo, impactaram de forma negativa. Além disso, sua grandeza também importa, ou seja, se for positivo e muito próximo de zero, influencia muito menos do que se o coeficiente for positivo e grande.

Já o α mensura o excedente de retorno daquela carteira em relação a esses fatores, quase uma medida de desempenho individual do gestor, seu potencial artístico na montagem de uma carteira que excede aquilo que o mercado já costuma fazer: o gestor vai além de comprar ações de empresas de valor, colocar ativos que acompanhem o rendimento do mercado e as small caps.

Fama & French: um exemplo

É possível ver como esses fatores evoluem junto com o rendimento de um fundo, por exemplo. Selecionamos um fundo de ações bem grande e famoso, que tem mais de R$ 28 bilhões de patrimônio líquido, mas vamos ocultar o seu nome original, de forma a focar apenas nos resultados, e tratá-lo como Fundo X (FX).

Felizmente os fatores já são calculados pelo NEFIN-USP, o que facilita muito, e sua metodologia pode ser encontrada aqui, para quem quiser se aprofundar. Desta forma, temos aqui abaixo a evolução do rendimento acumulado do fundo, o SMB, o HML e o fator de mercado de 04/01/2010 até 29/03/2019.

Percebam como o desempenho do fundo X (vermelho) tem um desempenho muito próximo do mercado até meados de 2016, mas depois começa a destoar seu desempenho e ficar muito acima. Isso é uma sinalização que ele usou uma estratégia bem diferente do resto do mercado e conseguiu agregar valor nisso. Além disso, ele também seguiu o caminho trilhado pelos fatores de risco, ainda que em intensidade diferente.

Essa é uma análise gráfica, visual, olho-no-olho, mas vamos agora para o método citado acima. Após rodar o modelo, conseguimos encontrar o valor daqueles coeficientes (β₁, β₂ e β₃) e mensurar essa relação de uma forma mais precisa.

Um ponto importante é que não vamos rodar o modelo envolvendo essa evolução do retorno acumulado, como mostra o gráfico, mas sim as variações diárias, por questões estatísticas e propriedades que não convém citar aqui (mas são muito importantes, acreditem em mim!)². Abaixo temos os valores estimados:

Desta forma, o retorno de mercado, que tem o maior coeficiente (no caso era o β₁), é que mais dita e influencia a evolução do retorno desse fundo³, como havíamos antecipados na análise olho-no-olho. Na verdade, o fundo praticamente reproduz o resultado do mercado, visto que o β é muito próximo de 1.

Vejam que o HML e o SBM também impactam de forma positiva, mas bem mais fraca que o mercado, visto que seus respectivos coeficientes são bem menores.

Por outro lado, o seu α é muito próximo de zero, mostrando que não é grande a habilidade do fundo em bater o mercado, ainda que visualmente tenhamos essa ideia.

Com esse modelo, é possível, apenas pelo retorno diário dos três fatores, mais a constante (que é praticamente zero) construir uma série de retornos diários do seu fundo. Como fazer isso? Pega o retorno de cada dia, de cada fator, e multiplica pelos seus respectivos coeficientes, além de somar a constante.

É uma forma de testar o desempenho desse modelo, para saber se ele reproduz bem o que aconteceu.

Após calcular os retornos diários, é possível construir uma série de retornos acumulados e comparar com o que de fato aconteceu, conforme a figura abaixo.

Conclusão

Assim, fica decomposto o desempenho do rendimento do nosso Fundo X, que é um grande do mercado brasileiro, pelos fatores de Fama e French, mostrando que ele sofre grande influência do desempenho do mercado, não sendo exatamente um grande exemplo de desempenho fora da curva.

Chegando aqui o leitor se perguntará: bem, então esse tipo de abordagem só serve para saber decompor as influências de uma carteira? Não, a abordagem não é apenas informativa, é possível atuar e estabelecer estratégias de gestão com essas informações.

A ideia aqui foi introduzir novos fatores para se levar me conta na hora de avaliar a performance de um fundo ou de uma carteira, por exemplo.

Existem outros fatores, que pretendo apresentar no momento oportuno, além de estratégias para lidar com esses fatores, como é o caso dos Beta Hedging.

---

Notas:

[¹] O leitor mais especializado poderá dizer que o fato de Y subir quando X subiu não implica uma relação de causalidade, poderá ter sido apenas sorte, uma relação espúria. Isso é verdade, mas vamos ficar no mundo em que há de fato relação entre as variáveis.

[²] O problema tem a ver com trabalhar com séries estacionárias.

[³] Para aqueles mais iniciados em econometria, sobretudo séries de tempo, é importante ressaltar que todos os testes foram feitos, as séries são bem estacionárias, não há autocorrelação de erros, parâmetros são significantes etc, mas é provável que tenhamos casos pesados de multicolinearidade.

Não esqueça de compartilhar esse texto para que mais investidores entendam sobre os três fatores de Fama e French: