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Black & Scholes

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O que é Black & Scholes

Os economistas Fischer Black e Myron Scholes foram os responsáveis pelo modelo de precificação de opções conhecido como Black & Scholes.

Vencedor de um Prêmio Nobel de Economia, esse modelo foi desenvolvido ainda na década de 70. Ele parte do pressuposto de que preços de ações são aleatórios e, portanto, seguem uma distribuição normal. Considerando-se que um ativo não poder conter um preço negativo, adota-se então uma distribuição log normal.

A diferença entre ambos é que a distribuição normal é simétrica, contendo tanto valores positivos como negativos, enquanto que a log normal se desloca mais à direita.


Qual a essência da fórmula de Black & Scholes?

Os dois pontos fundamentais por trás do modelo Black & Scholes são:

Retorno esperado

O retorno depende do risco da ação. Quanto maior o risco, maior deve ser o seu retorno. Adicionalmente, o mercado de ações é influenciado pela taxa de juros da economia, dado que ela baliza os retornos esperados para todos os ativos.

Volatilidade

Representa o grau de incerteza em relação ao retorno esperado.

A volatilidade pode ser apurada indiretamente, por meio da volatilidade implícita. Ela é uma referência para as estimativas usadas pelos outros agentes do mercado. Por meio dela, pode-se calcular o valor de outras opções de uma mesma ação.

Como se calcula a fórmula de Black & Scholes?

Para se chegar à formula, deve-se entender quais são as suas premissas:

  • Opção europeia, exercida apenas no vencimento;
  • Não existem impostos ou custos de transação;
  • Não há pagamento de dividendos durante a vigência da opção;
  • Não existem oportunidades de arbitragem entre a ação e a opção;
  • O ativo é negociado em condições normais de mercado;
  • A taxa livre de risco (Selic, no caso do Brasil) é constante;
  • Os investidores captam e/ou emprestam recursos à taxa livre de risco.

Como variáveis para se estipular o valor de uma opção, temos:

  • Preço de exercício da opção;
  • Preço atual da ação;
  • Prazo até o vencimento da opção;
  • Taxa livre de risco;
  • Volatilidade.

As respectivas fórmulas para a opção de compra (call) e opção de venda (put) são as seguintes:


Fonte: Hull, John (1995). ”Introdução aos Mercados Futuros e de Opções”. P. 275.

c = preço da opção de compra;
P = preço da opção de venda;
S = preço da ação;
X = preço de exercício;
r = taxa de juros livre de risco;
?= tempo para o vencimento
? = volatilidade do preço da ação;
N = representa a distribuição normal.

Por ser um modelo adotado mundo afora, não é necessário fazer o cálculo manualmente. Várias ferramentas pedem apenas a inserção das variáveis elencadas acima, trazendo como resultado o valor atual da opção.

No entanto, para trazer essa fórmula para o mundo real, veja o seguinte exemplo:

  • O preço de uma ação é R$ 42 e sua volatilidade é de 20% ao ano;
  • A opção, a 6 meses do seu vencimento, vale R$ 40;
  • A taxa livre de risco é 10% ao ano.

Quando identificamos as variáveis, temos:
S = 42
X = 40
r = 0,10 (equivalente a 10% ou 10/100)
?= 6/12 (equivalente a 6 meses)
? = 0,20 (equivalente a 20% ou 20/100)

Valor da opção:

  • Se a opção for de compra (c) = 4,76
  • Se a opção for de venda (P) = 0,81

No caso da opção de compra, o investidor pagará R$ 4,76 para ter o direito de comprar a ação a R$ 40. Caso exerça a opção, seu desembolso total será de R$ 44,76. Portanto, a ação no futuro deve valer mais do que R$ 44,76 para que a operação seja vantajosa.

No caso de opção de venda, o investidor pagará R$ 0,81 para ter o direito de vender a ação a R$ 40. Caso exerça a opção, seu lucro será de R$ 39,19. Portanto, a ação deve valer não mais do que R$ 39,19 no futuro para que a operação seja vantajosa.


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